ИНТЕГРАЛЫ УРАВНЕНИИ ЭЙЛЕРА ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО И УСТАНОВИВШЕГОСЯ ВИХРЕВОГО ДВИЖЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

1. Потенциальное движение 0 = 0.

а. Установившийся режим {дu|дt-Ql). Из уравнений движения

Эйлера (4.21) следует, что для этого случая -^ас1Е*=0. Интегрируя, находим Е*=сопз1 или

Ф + Р +

(4.23)

Уравнение (4.22) называется интегралом Бернулли. Оно выполняется для всего потока жидкости.

б. Неустановившийся режим (Ш/5/^0). Для потенциально установившегося движения и = gradep. Для потенциально неустановив-шегося движения это соотношение справедливо для любого фиксированного момента времени, т. е. когда время t играет роль параметра. Подставив ii = grackp в уравнение (4.22) при Q = 0, получим

-grad Е* = — (gradcp); dt

grad

Е*-3

dt

(4.24)

Интегрируя, имеем

Е *+^ = С(/), (4.25)

где с(/) - произвольная функция времени.

Ф + Р+ + ^- = с()). (4.26)

2 5/

Соотношение (4.26) называется интегралом Коши-Лагранжа.

Уравнения движения Эйлера в форме Громеки-Ламба примут вид

= 0; Q Ф 0

Для несжимаемой жидкости

Р

Р

Установившееся вихревое движение:

ди

dt

-grad E* = [Q- и]. (4.27)

Для получения интеграла умножим скалярно обе части уравнения (4.27) на элементарное перемещение

  • (отрезок линии тока) dldx,dy,dz) (рис. 4.1):
  • - dl • grad Е*= [П ? й] • dl, (4.28)

А = [ЄІ-ІЇ, так как А -и - 0, то и

А ? dl = 0, потому что dl коллениарен вектору и . Получаем

-сИ ? grad Е*=0.

Так как dl * 0, то grad Е*=0; E*=const;

Ф + Р +

и

  • - с.
  • (4.29)
  • (4.30)

По форме уравнение (4.30) совпадет с уравнением (4.23). Однако в уравнении (4.23) значение с постоянно для всей области потока, а в уравнении (4.30) значение Е* постоянно лишь вдоль данной линии тока (вихревой линии). При переходе от одной линии к другой эта постоянная будет принимать другие значения. Уравнение (4.30) называется интегралом Бернулли.

Если из числа массовых сил действует только сила тяжести

р)

/

интеграл Бернулли

(0=gz), то для несжимаемой жидкости

можно представить в виде, интегрируя Ф=gz + ci;

9

или

г + — + — - с. (4.31)

Р& 2^

Записывая (4.31) для двух произвольных точек линии тока, получим уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости:

2 2

р 1 и pi и2

ZJ + — + — = z2 + — + —

(4.32)

Р? 2^ р? 2^

В практике встречаются потоки, когда влияние сил тяжести несущественно (движение газа с р=сош1 при и<70 м/с). В этом случае

о 2

Р и

2«—;д<<—. Тогда вместо уравнений (4.31) и (4.32) можно ис-Р? 2g

пользовать интеграл (уравнение) в следующей форме:

р и

р н--= const

р и2

gz + - + — = c Р 2

  • 2
  • (4.33)

или

2 2

А + P-2- = Р2 + Р-^- • (4-34)

Для идеальной сжимаемой жидкости функция давления Р имеет конкретный вид в определенном термодинамическом процессе. Для баротропных процессов она выражается в элементарных функциях.

Для описания движения газа с малыми скоростями (менее 70 м/с) можно пользоваться уравнением Бернулли для несжимаемой жидкости (4.32).

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ СТРУНКИ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим установившееся движение вязкой несжимаемой жидкости, для которого уравнения движения (4.21) запишем в виде

-^•ас1 Е + уУ2г/ = [Й-й]. (4.35)

Выделим на произвольной линии тока (траектории) элементарный отрезок ее дуги (11 (с!х, с!у, (к) и умножим на него скалярно все члены уравнения (4.35):

  • (4.36)
  • -ей • grad Е+ vV2iiclI = [Q.-u] dl . Правая часть уравнения (4.36) равна нулю (см. § 4.5), т.е.

Заметим, что

  • - dl ? grad Е+ vV2w •dl = 0 .
  • (4.37)

Г

dl ? grad Е = Idxi + dyj + dzk I

/ BE , BE , BE , 4 dx---dy---dz

dx dy dz

v

у

BE -r BE - BE -i +—j +—к

dx dy dz

= d/E

N

У

(4.38)

представляет собой дифференциал функции Е по направлению / . Подставив (4.38) в уравнение (4.37), получим

  • 2 2 _
  • - . (4.39)
  • 1 1

Проинтегрируем (4.39) вдоль линии тока от точки 1 до точки 2:

-{Е2х)~-V ^У2ь^1. (4.40)

Обозначим

/гМ) =— - [V2Ы =-- [(у2ихсИх + У2и.Ду + У2и^), (4.41)

выражение (4.41) подставим в (4.40), получим

Е]=Е2+ а<‘-2)

или

Z] +

?L+d=Z2 + P2+4+h(l-2)

pg 2 g pg 2 g

(4.42)

Здесь Иу 2^ выражает работу единичной силы внутреннего трения (потерю удельной механической энергии). Так как в поперечном

сечении элементарной струики параметры течения неизменны, то уравнение (4.42) справедливо вдоль элементарной струйки, имеющей своей осью выбранную линию тока.

Уравнение (4.42) называется уравнением Бернулли для элементарной струйки вязкой несжимаемой жидкости (движение установившееся).

УРАВНЕНИЯ РЕЙНОЛЬДСА. УСРЕДНЕННО-УСТАНОВИВШЕГОСЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Обобщенная гипотеза Ньютона и уравнения Навье-Стокса справедливы как при ламинарном, так и при турбулентном движении жидкости. Однако в последнем случае использовать уравнения Навье-Стокса для прикладных решений невозможно, так как при турбулентном движении мгновенные скорости и давление являются пульсирующими величинами. В этом случае ставится задача отыскания усредненных во времени скоростей и давления. Усредненные скорости и давление могут быть независящими или зависящими от времени. В первом случае турбулентное течение называется установившимся, а во втором - неустановившимся.

Для получения уравнений турбулентного движения жидкости, которые можно применять для решения прикладных задач, используют уравнения Навье-Стокса, все члены которых подвергают усреднению по времени. Согласно основному положению Рейнольдса (1895 г.) истинная мгновенная скорость связана с усредненной соотношением й = и + и , где и - пульсация; черта - символ усреднения по времени мгновенного значения величины.

Концепция Рейнольдса распространяется на все характеристики потока, т. е.

р = р + р'-р = р + р'-и1 =щ +й-9(1 = х,у,г). (4.43)

Среднее по времени значение производной пульсирующей величины В (?) равно

2

в(ї) = - в(ї)ж.

/ґ / л

(4.44)

Усредненное значение производной (по времени и по координатам) любого порядка равно производной усредненной

величины:

г+

дВ 1 ( дБ , д 1 / _ , дБ

дх /0 I дх дх 1{) , дх

г-—

2 2

Этому же правилу подчиняется и производная по времени. В соответствии с правилами усреднения имеем

(4.45)

и

,-Иу = иіиі + м'м',(/,у = Х,У,2),

т. е. Ф 0, а также У Ф 0 .

Рассмотрим турбулентное движение несжимаемой жидкости (р=сопз1). Учитывая уравнение неразрывности сйуг7 = 0, выполним тождественные преобразования конвективных членов первого уравнения Навье-Стокса (4.12). Получим

К--^ + іЛ72и_ =

дих д(ихых) о[ихиу) д(ихи1)

р дх

дх

ду

ді

(4.46)

Здесь

ди^ ди

дх дх

ихх

дну ди.

+

дих диг х—- + ил.—-

дс у

+и.

ду ду

дік

иух

ди^ ди +

ди ди

Ы2

ду дк

так как сумма 1-го, 3-го и 5-го слагаемых дает нуль.

Произведем усреднение по изложенным выше правилам каждого члена уравнения (4.46). При этом предварительно вместо истинных значений их, их, и: и р подставим их выражения через усредненные и пульсационные величины из (4.43). Тогда для усредненно установившегося (квазиустановившегося) движения получим уравнения Рейнольдса. Для краткости представим только первое уравнение:

„ 1 dp о — — диг — duv _ ouY

Fv----—+ vV uv=uv—- + w„—- + M,——+

X wx

a.. ^

ax

dy dz

(4.47)

+

dx

WvMv H--WvW„ H--WJ/

х*"х

dx

x);

dx

X"Z

Уравнение (4.47) отличается от (4.46) тем, что истинные мгновенные значения их и р заменены их усредненными значениями и, кроме того, появляется добавочный член, связанный с пульсацион-ными характеристиками (выражение в квадратных скобках). Рассмотрим уравнения Рейнольдса подробнее. Члены вида

уУ2ых = -дУ2мх характеризуют вязкостные напряжения Они обусловлены действием сил внутреннего молекулярного трения.

Члены вида —— (рм/м';) характеризуют турбулентные (дополни-

р дх 7

(г)

тельные) напряжения р}.- ’, они обусловлены действием сил турбу

лентного трения (пульсациями скорости). Таким образом, в турбулентном потоке полное напряжение трения (касательное напряжение) слагается из вязкостного и турбулентного:

где тм = р№ = vp

V

ди; ди; L + —-5ft 5ft

N

/уЛ —-——

; гj - p>- ’ - -pUjUj . Причем турбу

лентные напряжения обладают свойством взаимности: pf= ру (см.

§2.2).

Уравнения Рейнольдса содержат десять неизвестных и даже с

учетом уравнений неразрывности сйуй=0 и сйуи = 0 образуют незамкнутую систему. Замыкание системы сводится к установлению связей между турбулентными напряжениями и другими переменными. Установление недостающих связей производится на основе гипотез, выдвинутых рядом авторов (Буссинеском, Прандтлем, Тейлором и др.) применительно к простейшим случаям турбулентного движения. Причем уравнения связей содержат константы, которые определяют из опытов. Последним объясняется название полуэмпи-рических теорий турбулентности.

ОСНОВНЫЕ ГИПОТЕЗЫ О ТУРБУЛЕНТНЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ

Рассмотрим турбулентное течение жидкости вдоль бесконечно длинной плоской трубы, стенку которой примем за ось х (рис. 4.2). Принимая движение квазиустановившимся, будем считать составляющую йх усредненной скорости и функцией только координаты

Уг=й = Ду)).

Рис. 4.2

Одна из существующих гипотез о связи турбулентного напряжения тт с усредненной скоростью й предложена Ж. Буссинеску в 1877 г. и выражается зависимостью

* du du — pv — — /,1т

dy

dy

(4.48)

где пт = ру ;у и Цт — соответственно кинематический и динамический коэффициенты турбулентной вязкости. Формула (4.48) фор-

мально аналогична закону вязкостного трения Ньютона. Зависимость V* от координаты у устанавливается априори или из опыта.

Так для течения вблизи плоской стенки, уравнение которой у=0,

предположение V* -ку, где к=сопэГ хорошо подтверждается опы

том.

Для течения жидкости в круглых трубах Госсом (1961 г.) предложена следующая удовлетворительно подтвержденная опытом формула:

V *=кх

где к =сош1; Я - радиус трубы.

Л. Прандтль (1875-1953 гг., немецкий ученый, в Геттингенском университете создал школу гидроаэродинамики) создал полуэмпи-рическую теорию турбулентности (1925 г.), которая основана на понятии пути перемешивания (смешения) /. Прандтль предположил, что, подобно молекулярному обмену, при турбулентном обмене конечный объем жидкости, выйдя из слоя 1 (см. рис. 4.2), сохраняет свое усредненное количество движения, пока не достигнет слоя 2. Расстояние от слоя 1, из которого объем вышел, до слоя 2, где произошло смешение, Прандтль назвал путем смешения. Согласно воззрениям Прандтля нормальная к линиям тока усредненного движения пульсация скорости должна быть пропорциональна разности

скоростей между слоями иу = Г

1-

V

Я

(4.49)

аы

Ну

. Предполагая, что их и и'у-

величины одного порядка, т.е.

ихиу

получим

т

р ихи

У

=р/

ГсШ^2

с/у

У

(4.50)

где / - длина пути перемешивания (смешения) или масштаб турбулентности.

Т. Карман (1881-1963 гг.), руководивший лабораторией

аэронавтики при Лахенском политехническом институте, ввел гипотезу о подобии пульсаций скорости во всех точках данного турбулентного потока. Им получена зависимость

(4.51)

с/П с/у

с/2 и/ с/у2

где х - некоторая константа. Знак « - » принят исходя из условия, чтобы / была положительной. Вблизи стенки

с/2й

>0, а —=-<0.

(Лу с/у2

Однако формулы Кармана и Прандтля подтверждаются опытами лишь в ограниченной области вблизи стенки и дают результаты, расходящиеся с действительным распределением скоростей вблизи оси трубы. Тем не менее, введение / оказалось эффективным.

Дж. Тейлор разработал теорию переноса вихрей, согласно которой в турбулентном потоке происходит обмен молярными массами, завихренность (угловая скорость) которых сохраняется на длине пути перемешивания. Выражение для Тт имеет вид

1 дт т

Р

= /

  • 2 с/их с/2ых
  • (4.52)

ду с/у с/у2

Приведенные гипотезы сводят задачу отыскания связи тт с по

лем усредненных скоростей к задаче отыскания V* или 1(у). Решение этой второй задачи основано на экспериментальных данных или на дополнительных гипотезах.

Измерения показывают, что величина т в отличие от не является характерной постоянной жидкости, а меняется по сечению потока. Так при движении в круглой трубе коэффициент т резко меняется от очень малых значений вблизи стенки до некоторого максимума на расстоянии 0,5Я, а затем вновь убывает до некоторого минимума на оси трубы.

Рассматривая одномерное квазиустановившееся турбулентное

движение, для которого ых - и - /(у) (см. рис. 4.2), можно написать

Рху=т = (тит) = (Р + Рт)

гс1йл

V.

сЬ

/

(4.53)

Однако по мере приближения к стенке турбулентные пульсации затухают, и существует пристенный слой (вязкий подслой), где течение почти или полностью ламинарное. В пределах вязкого подслоя /л »/лт . Причем на самой стенке Цу =0, а напряжение трения сов-

падает с принятым в теории ламинарного движения

ТМ = Р{ху] = Р

(Ли

<Лу

(4.54)

У=0

В удалении от твердой стенки »ц, и последним можно

пренебречь, пользуясь формулой (4.48) или (4.50). Таким образом, весь поток можно разбить на область турбулентного течения, переходный слой и вязкий подслой.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >