ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ (ЭЙЛЕРА). УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ФОРМЕ ГРОМЕКО-ЛАМБА

Гипотетическая жидкость, которая не обладает вязкостью, называется идеальной. Исходя из предположения об идеальной жидкости можно решать многие практические задачи, связанные с расчетом давлений, распределенных по поверхности удобообтекаемых тел. Однако вязкость необходимо учитывать при определении касательных напряжений, т. е. сил поверхностного трения (сопротивления). Жидкость, которая течет на большом удалении от поверхности твердого тела, можно считать идеальной, так как в ней отсутствуют гра-

с/и

диенты скорости — = 0; р Ф 0; ти = 0; для описания движения иде-

с/у А

альной жидкости используем уравнения Навье-Стокса (4.12), положив =0 или у=0:

/. —

ру —

1

др

с/и г

диу

диу

диу

дих

л

_ л

+ и у

л

+ и,,

л

+ и7

л •

р

дх

ск

5/

X

дх

ду

&

1

дР

Ли у

СО

II

+ иу

ди у

? + Ы

ди у,

? + и

диу .

*

р

ду

ск

5/

X

дх

у

ду

&

1

др

с/и2

_ ди2

И- 11 у

ди2

+ и,,

ди2

+ 11-

ди2

р

д2

ск

5/

X

дх

У

ду

2

&

(4.15)

р,--

Уравнения (4.15) называются уравнениями движения Эйлера. Они пригодны для сжимаемой и несжимаемой жидкостей, являются нелинейными. Для несжимаемых жидкостей следует принять Р=СОП8Г

Векторные формы уравнений движения Эйлера имеют вид

Р-~&адр = ^-

р ш

или

(4.16)

F - — gradp =--? (и • V)- и.

р dt

Для получения еще одной широкоупотребительной в практике формы уравнений движения Эйлера используем следующую формулу векторного анализа:

• V)• и = gradi/2 -

и ? Q

(4.17)

где Q = 2co = rotw (см. § 3.9.).

Подставляя (4.17) в (4.16) получим уравнения движения Эйлера в форме Громеки-Ламба.

F — gradp Р

(4.18)

Достоинством этих уравнений является выделение членов, учитывающих вихревую часть движения.

Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в форме Громеки-Ламба очевидно будут иметь вид

F —— grad р + v V 2 и - 4— + grad + [q • й ]. (4.19)

Уравнения движения (4.18) и (4.19) оказываются удобными для решения ряда практических задач гидродинамики. Остановимся на них несколько подробнее.

Считая, что массовые силы обладают потенциалом, т. е.

F = -grad Ф, и учитывая, что p=const, уравнения (4.19) представим в следующем виде:

D Ы

Используя обозначение E = Ф + — --, получим

P 2

-gradE + vV2« = — + [П-н]. (4.21)

dt

Для идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропного процесса введем в рассмотрение функцию давления

^ 1 , 1 dP= — dp; gradP= — grad/?.

P P

«2

Тогда, если обозначим Е*=Ф + Р н--, для идеальной сжимае- мой жидкости уравнение (4.18) примет вид

-grad Е* = Ё0- + [П • и]. (4.22)

dt

Уравнения движения Эйлера для несжимаемой жидкости вместе с уравнением неразрывности образуют замкнутую систему. Для сжимаемой жидкости (газа) эту систему необходимо дополнить уравнением состояния (условием баротропности).

Сформулируем граничные условия для идеальной жидкости. Так как в этом случае р =0, то отсутствует прилипание к твердой стенке,

жидкость скользит вдоль стенки, поэтому граничным условием яв

- grad

т P 11

Ф + — + —

V

p

У

+ v v 2 и = — + [q • и ]• (4.20)

dt 1 J

ляется непроницаемость твердой неподвижной стенки, т. е.

Если движение идеальной жидкости потенциальное, то

^|с=(а<р/^4с=0-

Уравнения движения Эйлера так же, как и уравнения Навье-Стокса, являются нелинейными и в общем виде не интегрируются.

Однако уравнения движения Эйлера могут быть проинтегрированы для следующих частных случаев.

  • 1. Потенциальное движение 0 = 0:
    • а) установившееся (дu/дt = 0);
    • б) неустановившсеся (Ш/й^О).
 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >