Элементы математической логики

В древности мыслители пытались давать рецепты правильных умозаключений, которые от истинных посылок приводят только к истинным выводам. Таких мыслителей называли логиками. Наука установила общие методы правильных умозаключений, называемых формальной логикой.

Термин «логика» происходит от древнегреческого слова logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон».

Понятие — это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов.

Суждение — это форма мышления, отражающая связь понятий друг с другом.

Умозаключение — это процесс получения нового суждения-вывода из одного или нескольких данных суждений.

Высказывание — это любое предложение какого-либо языка (утверждение), содержание которого можно определить как истинное или ложное.

Предикат — высказывание, содержащее одну или несколько неизвестных.

Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может. Формулировка любой теоремы — высказывание. Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Из двух числовых выражений можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства. Сами числовые выражения высказываниями не являются. Равенства или неравенства, содержащие переменные, также не являются высказываниями.

Например, предложение Х< 12 становится высказыванием при замене переменной каким-либо конкретным значением. Такие предложения называют высказывательными формами.

Примерами высказываний могут служить.

• 1. {Число 2 является делителем числа 7} (ложное высказывание).
• 2. {3 + 5 = 2 • 4} (ложное высказывание).
• 3. {2 + 6 > 10} (ложное высказывание).
• 4. {II + VI > VIII} (ложное высказывание).
• 5. {Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8} (ложное высказывание).
• 6. {Two plus six is eight} (истинное высказывание).
• 7. {Студент X лучший по информатике} (предикат).

Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием, в противном случае высказывание называется сложным.

В алгебре логики, как и в обычной алгебре, вводится ряд операций.