Полная версия

Главная arrow Экология arrow Общая экология

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Примеры построения моделей

Помимо приведенной выше модели Вольтерра несколько простых, но полезных моделей динамики популяций были рассмотрены в главе первой. Ниже приведены примеры применения моделирования к трём задачам иных типов.

Балансовая модель биомасс трофических уровней в экосистеме

Составим балансовую модель биомасс в экосистеме на основе данных, приведенных в табл. 6.1. При составлении балансовой модели предполагается, что экосистема находится в равновесии, биомассы на всех трофических уровнях постоянны, и действует правило, выраженное уравнением (6.2). Сохранив обозначения таблицы, получим систему уравнений, описывающих изменения биомасс растений (V), фитофагов (Г), хищников (Р) и редуцентов (/?), приходящихся на квадратный метр территории экосистемы:

  • 0,06К- 0,20/4 0,05/? + А = (/V/сИ = 0;
  • 0,01 У + 0,01 /-0,25/= с/Р/Ж= 0;
  • 0,02/- 0,20/ = ЛР/Ж = 0;
  • 0,05 V + 0,02/+ 0,01/- 0,12/? = (Ш/Ж = 0.

Здесь процентные доли переведены в абсолютные и в первом уравнении введено слагаемое А поток первичной продукции биомассы, создаваемой растениями в процессе фотосинтеза из неорганической материи. Число неизвестных на единицу превышает число уравнений и, чтобы получить решение, необходимо либо знать А, либо иметь оценку одной из биомасс.

Если известна первичная продуктивность растений А = = 70 г/(м2 год), то легко вычислить биомассы: V = 1500 г/м2, /= = 1000 г/м2, /= 100 г/м2 и /? = 800 г/м2.

Модель роста деревьев

Примером имитационного подхода может служить простая и изящная модель роста хвойных деревьев[1]. Такие расчёты необходимы, например, для рационального использования лесных ресурсов. Модель представляет собой систему из двух уравнений:

A L(t) = а /(/);

/(/) = р[/(4 1) + XAL(t- 1)].

Здесь t дискретизированное время, шаг по времени — один год, AL{t) приращение линейного размера растения L(t) (высоты дерева или длины ветви) за вегетационный период /-го года; /(/) — потенциал роста на начало вегетационного периода Г-го года; а — линейный прирост при единичном потенциале роста; р — относительное уменьшение потенциала роста за время от окончания вегетационного периода (/ - 1)-го года до начала вегетационного периода /-го года (0<р<1); X — вклад единичного прироста (/ - 1)-го года в потенциал роста (X > 0), сложившийся к началу /-го года. Размерность переменных Д/) и Д/) — единицы длины, а параметры а, р и X — безразмерные.

Переменная Р(() — потенциал роста ветви в длину или дерева в высоту — является системной переменной. Она интерпретируется как сумма вкладов всех предпосылок к росту, сложившихся на начало данного вегетационного периода. Сюда, в частности, входят размер и «качество» почки, заложенной в предыдущем году, и количество хвои прошлых лет, способной осуществлять донорские функции по отношению к рассматриваемому побегу. Прирост пропорционален потенциалу роста, причём коэффициент пропорциональности а зависит от состояния среды в данном вегетационном периоде (температура, осадки, запас питательных веществ в почве, освещённость). Коэффициент а зависит также, если рассматривать ветвь, от её возраста (сказывается, в частности, затенение расположенными выше ветвями), а для ствола — от степени конкуренции с другими растениями (в частности, за свет).

На рис. 6.5 показан пример результатов расчёта по этой модели. Сначала интенсивность роста быстро растёт, затем происходят стабилизация и постепенное убывание. Приведённый график характерен для обыкновенной сосны.

Результаты моделирования роста обыкновенной сосны

Рис. 6.5. Результаты моделирования роста обыкновенной сосны

Модель переноса атмосферных примесей

При моделировании процессов распространения примесей (обычно — загрязняющих веществ) в атмосфере вследствие дискретизации дифференциальных уравнений возникает так называемая машинная или численная псевдодиффузия. Из-за неё вещество в модели буквально расползается со скоростью, многократно превышающей истинную скорость распространения. Разработаны чрезвычайно изощрённые методы подавления псевдодиффузии, но достичь её полного отсутствия при формальном решении уравнений не удаётся. Трудности такого рода могут возникать и в других задачах, имеющих сходное математическое описание, например, в задачах о постепенном расселении видов при сукцессии.

Один из радикальных способов решения подобных проблем состоит в отказе от попыток использовать дифференциальные уравнения, когда они плохо поддаются дискретизации. Вместо этого можно попробовать построить имитационную модель явления.

Примером такой имитационной модели может служить так называемая лагранжевская или траекторная модель распространения струи загрязняющего вещества (примеси) в атмосфере. Вместо формального выписывания уравнений рассмотрим процесс формирования и переноса струи примеси в целом. Предположим, что в момент времени / проекция струи на горизонтальную поверхность занимает положение 1 (рис. 6.6). Именно такой вид будет иметь струя при наблюдении с самолёта или со спутника.

Положим, что направление и сила ветра не меняются в течение достаточно короткого интервала времени Д/. Тогда часть

Проекции струи загрязняющего воздух вещества на горизонтальную

Рис. 6.6. Проекции струи загрязняющего воздух вещества на горизонтальную

поверхность

струи, сформировавшейся к моменту /, сместится за время Д/ в положение 2, а между этой частью и источником возникнет новая порция дыма (на рис. 6.6 она заштрихована).

В процессе движения струя расширяется в поперечном направлении вследствие диффузии. Многочисленные измерения показали, что это расширение линейно зависит от пройденного пути г, и в среднем ширина струи >г = 0,4г. При этом струя «не знает», что в целом она искривлена и ведёт себя на каждом коротком отрезке так, как если бы она была прямолинейной. Вторая особенность поведения струи состоит в том, что диффузия вдоль струи пренебрежимо мала по сравнению с поперечной диффузией. Короче говоря, отдельные «кусочки» струи живут сами по себе, двигаясь по ветру и расширяясь поперёк направления движения.

Расчёты подобного рода ведутся обычно в прямоугольной (декартовой) системе координат и потому вектор скорости горизонтального ветра целесообразно разложить на две составляющие — вдоль оси х, которую обозначим и, и вдоль оси у, обозначаемую V. Понятно, что скорость ветра зависит от координат точки, в которой ветер задан (взят из метеорологических данных), а потому II = и(х, у) и V = У(х, у).

Представим струю в виде совокупности отдельных порций — «кусочков», и будем рассчитывать судьбу каждой порции независимо от остальной струи. Перенумеруем все порции от 1 до N, где N — общее число рассматриваемых порций. Порцию с номером п представим в виде точки — её центра с координатами х„, уп, окружённого некоторой площадкой с размерами Хп х Уп, образовавшейся под действием диффузии. Масса примеси, принадлежащая порции, предполагается равномерно распределённой по этой площади. Полагаем, что за каждый короткий шаг времени Д/ в источнике образуется новая порция примеси. Ей присваивается номер 1, и номера всех остальных порций увеличиваются на 1. Таким образом, порция с номером п получает номер п + 1, а возраст порции хп = яД/ всегда известен. За этот же интервал времени с каждой порцией происходят следующие события. Во-первых, она сдвигается по ветру, и потому меняются координаты её центра. Таким образом:

*„ + . =*„+ и (хп,у„)АГ,

Во-вторых, она расширяется в соответствии с указанным выше эмпирическим правилом, а потому:

Хп+[п + 0,4 ИХ, у„)Д/;

Уп+1= Г„ + 0,4 Щхпп)М.

Порции свободно «накладываются» друг на друга, имитируя тем самым распределение примеси в струе (рис. 6.7). По мере движения масса примеси обычно уменьшается за счёт вымывания дождями, осаждения на земную поверхность и химических превращений. Поэтому, выбрав N достаточно большим, можно считать, что порции возраста (N + 1 )А/1 становятся пренебрежимо малыми по массе и не заслуживают дальнейшего расчета.

Представление струи рис. 6.6 в модели

Рис. 6.7. Представление струи рис. 6.6 в модели

Эта модель в течение десяти лет успешно использовалась для расчётов дальнего переноса атмосферных загрязнений, пока с развитием компьютерной техники не появились возможности её замены на более совершенные и точные вычислительные схемы.

  • [1] Подробности см. в работе: Kyxma А. Е., Семенов С. М. Метод мониторинга линейного прироста ювенильных древесных растений и его роль в оценке крупномасштабных изменений состояния природной среды и климата. В сб. Проблемы экологического мониторинга и моделирования экосистем. Т. XVIII. СПб.: Гидрометеоиздат, 2002. С. 167-191.
 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>