Задача минимизации издержек фирмы при фиксированном выпуске фирмы в долговременном и краткосрочном промежутках. Функции условного спроса по Хиксу на ресурсы со стороны фирмы и функция условных издержек фирмы

Вторая версия задачи максимизации прибыли фирмы есть задача минимизации издержек при фиксированном объеме у выпускаемой фирмой продукции.

Если фирма имеет фиксированный выпуск, т.е.

у = Дх{2), (2.11)

то задача (2.1) максимизации прибыли фирмы в долговременном промежутке приобретает вид РЯ = р0ур{х{р2х2 —> шах, что эквивалентно задаче

РХ + Р2%2 —* гшп (2.12)

при наличии ограничения (2.11) на условный экстремум.

Для решения задачи (2.12), (2.11) составим функцию Лагранжа

Цх12,у) = + р2х2 +Х{у - Дхьх2)) (2.13)

и затем выпишем условия первого порядка

Э Дх15х2Д) af(xx,x2)

-г- — Р — Л,--- — U

(2.14)

Эх2 ЭА.

Аналогично системе (2.7) система (2.14), в которой фигурирует производственная функция со своей спецификой, имеет единственное решение (х,,х2Д) (длинная точка). Короткая точка (х,,х2) есть точка глобального минимума задачи (2.12), (2.11), которая формально ничем не отличается от задачи минимизации расхода при фиксированном уровне полезности (см. § 1.1).

Функции х, = р2, у), х2 = V|/2(/?|, р2, у) называются функ

циями условного спроса по Хиксу на ресурсы со стороны фирмы

на рынках ресурсов (капитала и труда). Функция С = р{х{ + р2х2 =

= Р1У(Р,Р2’У) + Р2^2(Р’Р2’У) = С(р,р2) называется функцией условных издержек фирмы.

Подставив длинную точку (х,,х2Д) в первые два уравнения системы (2.14), получим равенство

(Р,Р2) = X - grad f(x{,x2), (2.15)

откуда следует, что множитель Лагранжа А., как правило, получается достаточно большим, ибо цены рх и р2 на ресурсы относительно велики, а предельные производительности ресурсов относительно малы.

Функции H/j (/?|, р2, у), |/2(р,,/?2, у) однородны нулевой степени по переменным/?, и р2, а функция С(р, р2, у) однородна первой степени по переменным /?, и р2.

С изменением объема у от нуля до +оо и при фиксированных ценах/71 ир2 на ресурсы конфигурация ресурсов (х(, х2) = (|/,(/7,, р2, у), 1/2(/?|, р2, у)) образует на плоскости 0Х|Х2 линию развития фирмы L (см. [10, с. 176, рис. 6.1 и 6.3]).

Задача минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме у выпускаемой продукции в краткосрочном промежутке есть задача (2.12), (2.11) при дополнительном ограничении

X, = х{. (2.16)

Геометрическое решение этой задачи см. [10, с. 177, рис. 6.4].

Решение задачи минимизации издержек фирмы при фиксированном объеме у выпускаемой продукции в случае, когда производственная функция/(х1? х2) фирмы есть функция Кобба—Дугласа

/(х12) = а0х?1х22,

РуХх + р2х2 = С (пип),

й - п Г«1 г«2

У ~ а0х х2приведено в 110, § 6.4].

Здесьи р2 — рыночные цены на ресурсы. Искомыми переменными являются объемы х, и х2 первого и второго ресурсов.

Утверждение 2.3.1. Предельные условные издержки по объему выпуска равны множителю Лагранжа

э С(р{2,у) = 1 (2Л7)

ду

Утверждение 2.3.2. Лемма Шепарда. Предельные условные издержки по цене р1 ресурса вида / (/ = 1, 2) равны х,- , т.е.

Ж(Л1,9)= (2.18)

Эр,-

Формально эти равенства ничем не отличаются соответственно от предельного расхода по полезности и предельного расхода по цене р/ продукта (7, (/ = 1, 2) в теории потребления (см. §1.1).

Выражения, называемые утверждениями о маржинальных значениях, позволяют проводить анализ чувствительности условных издержек относительно изменения выпуска у фирмы и цен на ресурсы.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >