Задача максимизации выпуска фирмы при лимите на используемые ею ресурсы в долговременном и краткосрочном промежутках. Функции условного спроса по Маршаллу (по Вальрасу) на ресурсы со стороны фирмы и функция условного выпуска фирмы

Задача максимизации выпуска фирмы при лимите на ресурсы есть первая версия задачи максимизации прибыли фирмы. Вторая версия задачи максимизации прибыли фирмы есть задача минимизации издержек при фиксированном объеме выпускаемой продукции, которая анализируется в §2.3.

Если фирма имеет лимит на ресурсы, равный V, т.е.

Р* +Р2Х2 = К (2.4)

то задача (2.1) максимизации прибыли фирмы в долговременном промежутке приобретает вид PR = p0f (jc, , х2) — К—>• шах, что эквивалентно задаче на условный экстремум

/(х,, х2) —> max (2.5)

при наличии ограничения (2.4).

Хорошо известно, что задачу (2.5), (2.4) следует решать методом Лагранжа:

• составить функцию Лагранжа

L(xl,x2,X)=f(xl,x2) + X(V-plxl2Х2) (2.6)

• и решить систему трех уравнений с тремя неизвестными хьх2, X, которые представляют собой условия первого порядка:

дЦх12,Х) df(x{,x2)

Эх

Эх

- Хрх = 0,

(2.7)

В связи с тем что производственная функция/(xl5 х2) обладает рядом специфических свойств, одним из которых является строгая выпуклость изоквант к точке О, короткая точка (xj,x2) есть точка глобального максимума целевой функции (2.5) при наличии ограничения (2.4). Напомним, что длинная точка (х15х2Д) есть единственное решение системы (2.7).

В связи с тем что формальная задача (2.5), (2.4) максимизации выпуска фирмы при лимите на ресурсы не отличается от задачи максимизации функции полезности потребителя при бюджетном ограничении (см. § 1.1), мы воспользуемся формальными результатами этого параграфа.

Функции х, = cpj(/?|, р2, V), х2 = ф2(р,, р2, V) называются функциями условного спроса по Маршаллу (по Вальрасу) на ресурсы со стороны фирмы на рынках ресурсов (капитала и труда). Функция У = f(x 1,х2) = f(V(Pi,P2,V),2(P>P2>v)) = h(p,p2,V) называется функцией условного предложения фирмы на рынке продукции (например, на рынке валенок).

Подставив длинную точку (х, , х2, А.) в первые два уравнения системы (2.7), получим равенство

grad /(х1?х2) = Х{рьр2), (2.8)

откуда следует, что множитель Лагранжа X, как правило, получается достаточно малым, ибо цены рх и р2 на ресурсы относительно велики,

Э/(х,,х2) Э/(х,,х2)

а предельные производительности ресурсов — L——, - ——

дх{ дх2

при значительных количествах х, и х2 расходуемых ресурсов относительно малы.

Все функции 1ьр2,У), ($>2{px,p2,V), q2(px,p2,V)uh{pbp2,V) однородны нулевой степени относительно всех трех переменных

Р,Р2v-

С изменением лимита V от нуля до +оо и при фиксированных ценах рх и р2 на ресурсы множество значений точки (х,,х2) = = (ф|(/?!, р2, V), ф2(/?|, р2, V)) образует на плоскости 0Х|Х2 линию L, которая называется линией развития фирмы в долговременном промежутке и аналогична линии «доход — потребление» в теории поведения потребителя на рынке (см. [10, с. 170, рис. 6.1]).

Решение задачи максимизации выпуска фирмы при наличии лимита С на ресурсы в случае, когда производственная функция /(хj, х2)

фирмы есть функция Кобба—Дугласа у = а0х/]х22, приведено в [10, с. 171-173].

Утверждение 2.2.1. Предельный условный выпуск по лимиту равен множителю Лагранжа X:

дк(р12,У)

дУ

(2.9)

Утверждение 2.2.2. Тождество Роя. Предельный условный выпуск по цене р/ ресурса вида / (/ = 1, 2) равен -х,- X , т.е.

дИ(р,р2,У)

Эр,-

(2.10)

Формально эти результаты ничем не отличаются от предельной полезности ПО ДОХОДУ И предельной полезности ПО цене рI продукта (7, (/' = 1,2) в теории потребления (см. §1.1).

Выражения (2.9) и (2.10) принято называть утверждениями (теоремами) о маргинальных значениях. Эти выражения позволяют проводить анализ чувствительности условного выпуска относительно изменения лимита на ресурсы и цен на ресурсы.

 
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ     След >