Математическое моделирование сбытовой деятельности. Предпосылки, этапы, требования к статистической информации

К основным методам, применяемым для решения практических задач в области сбытовой деятельности, следует отнести методы математического моделирования.

Математическое моделирование — это теоретико-экспериментальный метод познавательной деятельности, направленный на создание математических моделей с целью исследования свойств системы (объекта) исследования.

Под математической моделью принято понимать совокупность математических соотношений (уравнения, неравенства, логические условия), характеризующих свойства и состояния объекта (процесс) исследования, представляющих интерес с точки зрения исследователя. В математической модели должны быть учтены взаимосвязи объекта исследования с другими элементами внешней среды, т.е. должен соблюдаться принцип системности моделирования. В противном случае нарушается один из основных принципов моделирования — принцип адекватности модели. В математической модели наблюдается ряд допущений и упрощений с целью выделения наиболее значимых свойств объекта, подлежащих исследованию. Вследствие этого модель, как правило, учитывает одно или несколько наиболее значимых для исследователя свойств.

Следовательно, для одного и того же объекта (процесса) исследования в зависимости от целей исследования и предпочтений исследователя возможно построение различных вариантов математических моделей. Таким образом осуществляется реализация принципа альтернативности моделирования.

В теории математического моделирования принято выделять следующие основные возможности математических методов моделирования:

  • • исследование свойств системы (объекта);
  • • осуществление экспериментального исследования с изменением параметров системы не непосредственно, а с помощью заменителя — модели;
  • • контроль динамики развития системы (объекта);
  • • создание интегрированных систем контроля и управления системой;
  • • оптимизация параметров функционирования системы;
  • • осуществление финансово-экономического анализа результатов деятельности;
  • • прогнозирование будущих состояний и перспектив развития системы (объекта).

Применительно к сбытовой деятельности математические методы позволяют осуществлять оптимизацию и прогнозирование материальных, финансовых и информационных потоков, возникающих при сбыте продукции, оптимизировать товарные запасы, минимизировать издержки сбытовой деятельности, максимизировать эффективность сбытовых операций. Одной из главных возможностей математических методов является выявление и анализ факторов, влияющих на результативность сбытовой деятельности и прогнозирование эффективности сбытовой деятельности в целом. Поэтому ведущее место в большом разнообразии математических методов, использующихся в планировании и реализации сбытовой деятельности, принадлежит математическим методам прогнозирования.

При использовании в комплексном анализе сбытовой деятельности организаций математических моделей прогнозирования в первую очередь необходимо определить цель исследования и тип математической модели, отражающей объективное развитие объекта (процесса) исследования. Для определения круга моделей, подлежащих предварительному выбору, необходимо рассмотреть некоторые особенности применения прогнозных моделей.

Выделяют следующие классы математических моделей прогнозирования:

Кривые роста — предназначены для построения трендовых моделей, характеризующих тенденцию развития среднего значения исследуемого показателя. Этот класс моделей целесообразно применять для анализа объектов, на развитие которых оказывает влияние большое количество факторов, причем не все факторы могут быть определены количественно. В этом случае влияние большого количества факторов заменяется одним главным или ведущим фактором — время. В этом случае трендовая модель имеет следующий вид:

у = а+р/ + е,, (1)

где а, Р — параметры трендовой модели; t — ведущий фактор «время»;

  • —случайная компонента, характеризующая стохастичность процесса. Кривые роста целесообразно использовать при анализе различных финансово-экономических показателей, характеризующих сбытовую деятельность фирмы.
  • Адаптивные модели — позволяют получить высокоточные прогнозные модели для небольшого объема наиболее «свежей» информации об объекте. Данные модели можно применять как при анализе макроэкономических, так и микроэкономических систем. Существует достаточно большое количество адаптивных моделей. В зависимости от их конкретного вида модель имеет ту или иную математическую запись. Адаптивные модели рекомендуется применять в том случае, если в динамике объекта исследования наблюдаются сезонные или циклические колебания.
  • Эконометрические модели — наиболее ярко демонстрируют развитие объекта или процесса исследования с точки зрения влияния на него внешних и внутренних факторов. Эконометрическая модель имеет следующий вид:

у (/) = а + рД|(/) + р2Лг2(/) + ... + (3„Д;п(/) + е(0, (2)

гдеу(0 — результативный признак, подлежащий исследованию (например, эффективность сбытовой деятельности); а, р,... рт — параметры уравнения регрессии;

Хх(О,Х2(/)...ХтЦ) — факторные признаки, оказывающие влияние на результативный признак;

8(0 — случайная компонента, характеризующая влияние неучтенных в модели факторных признаков.

Эти модели имеют ясную содержательную и математическую интерпретацию и наиболее выигрышны при анализе и принятии управленческих решений в сбытовой деятельности.

Окончательный выбор того или иного класса математических моделей зависит от поставленных целей исследования, исходной информации и содержательного анализа объекта или направления исследования.

Следует помнить, что построение математических моделей возможно только для тех объектов исследования, для которых выполняется ряд предпосылок:

  • • устойчивость характеризует преобладание закономерности над случайностью и означает, что в развитии системы имеют место циклически повторяющиеся процессы, позволяющие накопить информацию для построения опережающего отражения (прогноза). Используя термины математического моделирования, эту предпосылку можно сформулировать следующим образом: во временном ряду должна присутствовать тенденция. Под временным рядом понимается совокупность наблюдений, упорядоченных во времени. Под тенденцией понимается долговременное устойчивое развитие процесса во времени. Если во временном ряде отсутствует тенденция, т.е. развитие объекта осуществляется хаотически и не подчиняется каким-либо законам, то построение модели, скорее всего, будет невозможным;
  • • условия, сформировавшие данную тенденцию, должны сохраняться на этапе прогнозирования, т.е. на этапе, предшествующем периоду прогноза, и на этапе собственно прогнозирования должны действовать одни и те же законы развития.

Важным моментом при подготовке к построению математических моделей является подготовка статистического материала, который является информационной базой для построения моделей.

К статистической информации, используемой для построения математических моделей, традиционно предъявляются следующие требования:

  • сопоставимость, означающая представление данных в сопоставимых единицах измерения и (или) их определение по одной и той же методике;
  • однородность характеризует отсутствие аномальных (нехарактерных) наблюдений, искажающих исходную информацию и приводящих к построению неадекватных моделей;
  • устойчивость означает формирование статистических данных под воздействием определенных законов, факторов, закономерно проявляющихся в течение длительного промежутка времени;
  • достаточное количество исходной информации;
  • достоверность статистической информации, характеризующей объективное развитие объекта во времени.

В общем случае процесс практического моделирования можно представить следующей совокупностью этапов.

Этап I. Постановка целей и задач исследования, выбор объекта наблюдения, определение перечня финансово-экономических показателей, характеризующих объективное развитие объекта исследования. Конечной целью математического моделирования является получение на строго научной основе дополнительной информации и дальнейшее ее использование в принятии управленческих решений, в частности, для повышения эффективности сбытовой деятельности.

Этап II. Определение интервала исследования является важным моментом, от которого зависят качество математической модели и результаты прогнозирования в целом. Для осуществления успешного моделирования и построения адекватной модели при краткосрочном прогнозировании количество наблюдений должно быть не менее 8—12 уровней. Если выбран объект исследования, по которому возможно получение лишь годовых данных, следовательно, период исследования должен составить 10—12 лет. На протяжении такого длительного промежутка времени для высоко динамичных процессов, которыми, в частности, является сбытовая деятельность, действие одних и тех же законов развития представляется весьма сомнительным. Следовательно, ежегодные данные не подходят. Чтобы обеспечить достаточное количество информации, необходимо использование либо квартальных данных, обычно за 3—4 года, либо данных за месяц на протяжении 1—2 лет. Кроме того, на протяжении выбранного интервала анализа должны действовать одни и те же законы развития исследуемого объекта. Таким образом, при моделировании результатов сбытовой деятельности в силу ее высокой динамичности и в зависимости от степени агрегированности фирмы в большинстве случаев целесообразно использовать помесячные данные об объемах реализации продукции, объемах выручки, затратах на рекламу, транспортных издержках и ряд других показателей, характеризующих сбыт продукции. При необходимости возможно использование статистических данных по неделям и даже по дням для осуществления оперативного мониторинга и управления сбытом.

Этап 111. Сбор статистических данных, отвечающих вышеизложенным требованиям, может осуществляться различными статистическими методами — от простого выборочного наблюдения до использования официальной статистической отчетности фирмы. Для оперативного мониторинга необходимо использовать данные оперативного учета сбыта продукции фирмы.

Этап IV. Предварительный анализ исходных данных, целью которого является установление, а в случае необходимости — устранение аномальных наблюдений; выявление факта наличия тенденции в исходном временном ряду; предварительный выбор класса моделей, используемых для определения динамики и перспектив развития процесса. Так как этот этап весьма трудоемкий ввиду большого объема вычислений, целесообразно использовать специализированные программы статистического анализа и прогнозирования, например, Statistica, SPSS, VSTAT, EVIEWS, Олимп:СтатЭксперт.

Этап V. Построение одной или нескольких моделей прогнозирования подразумевает оценку параметров моделей. Этот этап рекомендуется ввиду его большой трудоемкости выполнять с использованием специализированных программных продуктов, например, SPSS, VSTAT, EXCEL.

После построения математической модели необходимо осуществить анализ, насколько выбранная модель соответствует реальному исследуемому процессу с содержательной (экономической) точки зрения. В случае соответствия класса математической модели и содержательной характеристики реального процесса (для каждого класса моделей характерны свои особенности использования) надо перейти к следующему этапу В противном случае необходимо либо пересмотреть исходные данные, выбрав другой интервал анализа, либо удовлетвориться построенными моделями с рядом некоторых оговорок.

Этап VI. Анализ качества построенной модели предполагает проверку модели на адекватность и точность и предусматривает расчет и анализ следующих характеристик:

  • • адекватность (проверка свойств случайности, независимости и нормального закона распределения);
  • • показатели точности (среднеквадратическое отклонение, стандартное отклонение, средняя относительная ошибка и др.). Адекватность модели характеризует близость моделируемых значений

к фактическим наблюдениям. Модель признается адекватной, если выполняются следующие условия.

Случайность возникновения отдельных отклонений от тренда. Для

проверки случайности может оыть использован критерии поворотных точек (критерий «пиков») [22].

(3)

где р — количество поворотных точек, определяемых из графика остаточной компоненты е(Г).

Точка признается поворотной, если в ней изменяется тенденция графика. Остаточная компонента характеризует отклонение значений, полученных по модели, от фактических наблюдений и может быть определена следующим образом:

  • (4)
  • ? (О = У(0 -У (О,

где у О — фактические наблюдения динамики показателя; у (0 — значения, рассчитанные по модели.

В случае если условие (3) не выполняется, считается, что свойство случайности отклонений отдельных наблюдений от тренда не выполняется. • Независимость уровней ряда остатков. Данное свойство является одним из главных свойств остаточной компоненты, характеризующих

адекватность построенной модели, и подразумевает отсутствие автокорреляции (взаимозависимости) ряда остатков. Проверка свойства независимости осуществляется с использованием ^/-критерия Дарбина-Уотсона

й =

(5)

Рассчитанное значение ^/-критерия сравнивают с табличным интервалом и делают соответствующие выводы.

Нормальный закон распределения ряда остатков. Выполнение данного свойства является важным моментом при построении доверительного интервала прогноза и проверяется по /^-критерию

/?5 = (е -е . )/5,

V тах тт / /

пип

где ?тах, еП11П — наибольшее и наименьшее наблюдения ряда остаточной компоненты;

5 — среднее квадратичное отклонение ряда остаточной компоненты, определяемое по следующей формуле:

где п — длина временного ряда остаточной компоненты.

Значения /?5-критерия должны соответствовать табличному интервалу, величина которого зависит от вероятности осуществляемых расчетов.

Только в том случае, если выполняются все указанные свойства, модель признается адекватной и ее целесообразно использовать для анализа, прогнозирования и управления процессом. В случае если при проверке адекватности получены отрицательные результаты, т.е. модель не признана адекватной, необходимо либо уточнить статистические данные на предмет наличия в них аномальных наблюдений и присутствия тренда, либо выбрать другой класс моделей, более адекватно соответствующий динамике объекта исследования. В любом случае процесс моделирования носит творческий характер и требует не только знаний, но и практического опыта.

Точность модели характеризуется ошибкой аппроксимации модели и может быть оценена рядом таких показателей, как среднеквадратическое отклонение, стандартное отклонение, средняя относительная ошибка и др.

Средняя относительная ошибка характеризует степень близости моделируемых значений к фактическим наблюдениям и рассчитывается по формуле

х100%’

где у, — фактическое наблюдение признака;

У/ — расчетное (моделируемое) значение;

п — длина временного ряда.

В зависимости от целей исследования и специфики объекта (процесса) исследования предельно допустимые значения средней относительной ошибки могут варьировать в различных пределах. В общем случае отличие моделируемых значений от фактических наблюдений в пределах 15% считается удовлетворительным.

После оценки адекватности и точности модели переходят к анализу ряда показателей, также характеризующих качество построенной модели. • Коэффициент детерминации характеризует общее качество модели прогнозирования и рассчитывается следующим образом [23]:

Х<л-?>2

Я2 = -

1>-7>2

/=1

где у — среднее значение результативного признака;

Уі — предсказанное (расчетное) значение результативного признака. Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака под воздействием факторных признаков. Считается, чем ближе значение коэффициента детерминации к единице, тем более высоким качеством обладает построенная модель.

• Критерий Фишера характеризует статистическую значимость построенной модели и целесообразность ее использования для анализа и прогнозирования объекта исследования

Я2

Л

где к — количество факторных признаков, включенных в модель регрессии; п — длина временного ряда признаков.

В случае если расчетное значение критерия Фишера превосходит табличное, построенную модель целесообразно использовать для анализа и прогнозирования объекта исследования. Табличное значение критерия Фишера зависит от ряда таких факторов, как вероятность осуществляемых расчетов, длина анализируемого ряда наблюдений, количество факторов, включенных в модель регрессии. Если при проведении анализа установлено, что построенная модель не признается статистически значимой, ее нецелесообразно использовать для анализа и прогнозирования объекта (процесса) исследования. Как и в случае получения неадекватной модели, необходимо пересмотреть этап подготовки статистических данных и построения модели прогнозирования.

  • • Г-статистики Стъюдента отражают статистическую значимость параметров модели и соответствующих им факторных признаков. Для расчетов используется формула
  • (п>

где а і — оценка параметра регрессии, соответствующая у-му факторному признаку.

• характеризует стандартное отклонение соответствующего коэффициента регрессии и определяется по формуле

где Ь — диагональный элемент матрицы (X7 • Х)~

Если при анализе Г-статистик Стьюдента выявлено, что ряд факторов не является статистически значимым, такие факторы целесообразно из модели исключить. При определении количества факторов, участвующих в модели, исходят из соображений целесообразности и простоты проведения вычислений. Присутствие в модели слишком большого количества факторов затрудняет процесс вычислений и анализа.

• Коэффициенты эластичности, бета- и дельта-коэффициенты оценивают степень влияния различных факторных признаков на результативный признак.

Коэффициент эластичности характеризует величину изменения в процентах среднего значения результативного признака при изменении на 1 % среднего значения факторного признака и может быть рассчитан по формуле

У У

где у , х] средние значения результативного и факторного признаков;

а] — параметр регрессии, соответствующийу'-му фактору;

8у ,5 Л. — среднее квадратичное отклонение результативного и факторного признаков.

Высокий уровень эластичности характеризует сильную степень влияния факторного признака на результативный признак.

Дельта-коэффициент характеризует удельное влияние конкретного факторного признака в суммарном влиянии всех факторных признаков на результативный признак. Величина дельта-коэффициента рассчитывается по формуле

где г — коэффициент парной корреляции результативного признака у и факторного признака х.;

|3/ — бетта-коэффициент приу'-м факторном признаке;

Я2 — коэффициент детерминации.

Чем выше значение дельта-коэффициента дляу'-го факторного признака, тем выше его удельное влияние на результативный признак в совместном влиянии всех факторных признаков.

На основе анализа и сравнения этих характеристик для ряда альтернативных моделей осуществляется выбор одной, лучшей с точки зрения качества, модели. При этом должно быть выполнено как математическое, так и экономическое обоснование выбора вида прогнозной модели. На данном этапе для сокращения трудоемкости математических расчетов также целесообразно использование компьютерных технологий и специализированных прикладных программ.

Этап VII. Построение точечных и интервальных прогнозов и определение перспектив развития объекта (процесса) исследования обычно является заключительным этапом при осуществлении математического моделирования. Используя лучшую по качеству модель, выполняют построение точечных и интервальных прогнозов. При этом необходимо наряду с математическими формулами дать обоснование выбора тех или иных показателей, пояснить, от каких величин зависит ширина доверительного интервала.

При более строгом подходе к построению прогнозов целесообразно этап прогнозирования выполнять в две стадии:

  • • осуществление ретропрогноза с целью подтверждения высоких прогнозирующих качеств построенной модели на реальных (фактических) данных;
  • • построение прогноза с целью определения перспектив развития объекта исследования.

При прогнозировании динамики результативного показателя в первую очередь рассчитывается точечный прогноз. Так как вероятность точечного прогноза ничтожно мала, дополнительно определяется интервальный прогноз.

Для этого рассчитывается ширина доверительного интервала, которая зависит от следующих факторов:

  • • вероятность осуществляемых расчетов;
  • • точность построенной модели прогнозирования;
  • • длина ряда наблюдений;
  • • количество шагов прогнозирования.

В зависимости от выбранной модели прогнозирования расчет точечного и интервального прогноза имеет свою специфику и формулы расчета подбираются в каждом конкретном случае. Например, при прогнозировании по трендовой модели точечный прогноз определяется путем подстановки в модель тренда соответствующего параметра времени, а расчет ширины доверительного интервала определяется следующим образом:

11(к) = 8-г

табл

Л + }_+(п + к + 1?

П

Ъ<-ТГ

(15)

где 5— среднее квадратичное отклонение, найденное для ряда остатков с учетом числа степеней свободы построенной модели.

Данное отклонение характеризует точность модели и может быть найдено следующим образом:

Гпи1б1 табличная величина, характеризующая вероятность осуществляемых расчетов. Для вероятности расчетов 80% величина 1та&1 = 1,12; п — длина временного ряда;

к — количество шагов прогнозирования;

т — количество факторов, включенных в уравнение (для трендовых моделей т = 1).

Формулы определения точечного и интервального прогнозов по регрессионной модели имеют более сложные зависимости. Для построения точечного прогноза по регрессионной модели в уравнение необходимо подставить прогнозные значения факторных признаков.

Ширина доверительного интервала для регрессионной модели определяется по следующей формуле:

т = 5 ? !тЛ Ф + ХТТ Х)-'Х, (17)

где X — матрица, содержащая наблюдения факторных признаков;

Хт транспонированная матрица факторных признаков.

Интервальный прогноз ограничен верхней и нижней границами доверительного интервала. Для построения нижней границы интервального прогноза из точечного прогноза вычитают ширину доверительного интервала, для получения верхней границы — к точечному прогнозу прибавляют ширину доверительного интервала.

Для наглядного отображения результатов моделирования целесообразно привести графики соответствия расчетных (моделируемых) значений реальным фактическим данным, а также результаты прогнозирования.

Этап VIII. Использование результатов прогнозирования в принятии решений является творческим процессом и требует не только владения теоретическими знаниями, но и практических навыков по работе с объектом исследования.