Безотказность объекта

Безотказность характеризует продолжительность тех интервалов времени, в течение которых объект является работоспособным — /раб. Количественно безотказность определяют показателем вероятность безотказной работы Pit). Этот показатель означает, что на отрезке времени [0, /] не наступит отказ объекта, т.е. заранее неизвестное, случайное время безотказной работы объекта Т окажется больше заданного времени t

P(t) = P(T>t).

Противоположное вероятности безотказной работы понятие — вероятность отказа, рассчитываемая по формуле

F(t) = 1 - P(t) = P(T

означает, что отказ объекта наступит до заданного времени t.

Основополагающим в теории надежности является понятие функции распределения времени до момента наступления отказа объекта, которая и определяется как вероятность отказа объекта. Зная вид этой функции и значения ее параметров, можно рассчитать вероятность безотказной работы объекта в любой момент времени или на любом временном интервале.

Если функция Fit) дифференцируема, то ее первую производную называют плотность распределения

dF

f{t) = F ) = ^.

dt

Функция^/) характеризует плотность, с которой распределяются значения случайного времени отказа объекта в данный момент времени. Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения, но она существует только для непрерывных случайных величин.

Выразим вероятность попадания случайной величины X на отрезок от а до (3. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т.е. интегралу

Р

Р(а f(x)dx.

а

Геометрическая интерпретация вероятности попадания случайной величины Хна участок (а, (3) — это площадь, ограниченная кривой распределения и осью х (рис. 1.2).

Через плотность можно выразить функцию распределения

F(x) = J f(x)dx.

—оо

Геометрически функция распределения F(x) представляет собой площадь кривой распределения, лежащую левее точки X (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Вероятность безотказной работы объекта

Если рассматривается время распределения случайной наработки объекта, то интервал, в котором интегрируется плотность распределения, принимается от 0 до /

т= /т.

о

Плотность распределения обладает такими важными для расчетов свойствами:

• • функция положительная /(/) > 0;
• • интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице
• 1 Дх)сЬс = 1;
• —оо

если рассматривается плотность распределения времени, то

оо

| /т=1.

о

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что вся кривая распределения лежит не ниже оси аб-

сцисс, а полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Если рассматривать малые промежутки времени Д/, то вероятность отказа оборудования на интервале (/, / + Д/¹] равна Д/) Д/ (рис. 1.4)

Рис. 1.4. Определение вероятности безотказной работы объекта

в заданный момент времени

Важнейшими численными характеристиками наработки X и ее функции распределения Е(1:) является средняя наработка (математическое ожидание наработки)

сю сю

м(Х)=ітп=р ді)ф

О о

и дисперсия, представляющая собой характеристику рассеивания (разбросанности) значений случайной величины около ее математического ожидания

Э(Х) = М(Х - М(Х))² = | (ґ - М(Х))²бР(Г).

о

В теории надежности важную роль играет понятие интенсивность отказов А,(7). Она является мерой, выражающей склонность объекта к отказам в зависимости от времени эксплуатации. Интенсивность отказов определяется как отношение плотности распределения наработки объекта к вероятности его безотказной работы

т

р(о ?

Для достаточно малых интервалов времени А/ величина Х(/) • А/ есть вероятность отказа на интервале (/, t + А/] объекта, который проработал безотказно до момента времени / (достиг возраста Д.

Рис. 1.5. Периоды эксплуатации объекта

На практике происходит уменьшение интенсивности отказов конструкций и инженерного оборудования вскоре после ввода объекта в эксплуатацию. Это явление вызвано так называемыми приработочными отказами (1-й этап эксплуатации, рис 1.5), которые обусловлены дефектами при изготовлении и монтаже конструкций, устраняемыми во время гарантийного срока. С увеличением продолжительности работы интенсивность прирабо-точных отказов уменьшается и остается на определенное время практически постоянной. В период нормальной работы (Н-й этап эксплуатации) отказы возникают прежде всего по случайным причинам, например, из-за внешних силовых воздействий, не предусмотренных в проекте. Вследствие процесса износа конструкций, вызванного коррозией материала, усталостью и т.п., рано или поздно наблюдается нарастание интенсивности отказов. Этот этап эксплуатации здания называется периодом старения (II 1-й этап эксплуатации).

При определении безотказности зданий, сооружений и их элементов наиболее часто используют следующие законы распределения:

экспоненциальный

/^г(/) = -е-^а ',

где а — параметр закона, который является величиной, обратной среднему сроку службы объекта Т_гп

а = ——

Т '

*ср

Плотность распределения экспоненциального закона (рис. 1.6)

т = а • е~^а ‘.

Рис. 1.6. Плотность экспоненциального распределения

Интенсивность отказов при экспоненциальном законе распределения является постоянной величиной: Х(/) = а .

Экспоненциальное распределение наиболее часто используется при исследовании надежности строительных объектов. Это вызвано тем, что оно позволяет значительно упростить исследования, статистическую обработку результатов, а иногда и вообще провести численные расчеты. Однако экспоненциальное распределение нельзя использовать для описания наработки объекта, если возникает много отказов в начальный период его работы (приработоч-ные отказы) или существенны явления старения, что приводит к сильному изменению интенсивности отказов во времени.

Если величина У = (Х/0)Р экспоненциально распределена с параметром а = 1, то говорят, что случайная величина X имеет распределение Гнеденко—Вейбулла с параметрами 0 и |3 (0 > 0, |3 > 0).

Функция распределения Е(0 для величины X задается выражением

Параметр 0 является масштабным параметром, поскольку функция распределения /{?) зависит только от отношения //0. Иногда 0 называют параметром, характеризующим скорость старения объекта.

Параметр (3 называется параметром формы, поскольку определяет внешний вид графиков плотности распределения и интенсивности отказов.

Распределение Гнеденко—Вейбулла имеет следующие характеристики:

• плотность распределения (рис. 1.7)

V©,

чр-1 Э' ^[1]

V

• 0
• • вероятность безотказной работы

Р(!) = е

• математическое ожидание

М(Х) = 0 Г

Рис. 1.7. Плотность распределения Гнеденко-Вейбулла для 0 = 1

где Г(х) — известная гамма-функция

Т{х) = ^^х-^Х)е~¹(1Г, о

• • дисперсия
• 0(х) = 0²

(

V

/

V

р+1

7/

В частном случае, когда р = 1, распределение Гнеденко— Вей-булла представляет собой экспоненциальное распределение с параметром а = 1/0.

Распределение Гнеденко-Вейбулла обладает важным свойством: объект, состоящий из последовательно соединенных элементов, имеющих распределение Гнеденко-Вейбулла, также имеет распределение Гнеденко-Вейбулла.

о

• 4
• 8

Рис. 1.8. Интенсивность отказов для распределения Гнеденко-Вейбулла

при 0 = 1

Таким образом, вероятность безотказной работы объекта, включающего в себя п последовательно соединенных элементов, определяется

где

Случайная величина X называется нормально распределенной с параметрами р и а, -°° < р < °о, а > 0, если ее функция распределения имеет вид

( / — и

/?(/) = Ф

где Ф(х) — функция нормального распределения

Математическое ожидание и дисперсия нормального распределения

М(Х) = ц, ЩХ) = а².

Нормальное распределение играет исключительно важную роль в теории вероятностей и математической статистике. Однако его не используют в качестве распределения наработки, поскольку случайное время наработки не может быть отрицательной величиной. Тогда переходят к так называемому усеченному нормальному распределению.

Случайная величина X имеет усеченное слева (относительно нуля) нормальное распределение, если

Ґ

/-р

ф-

о

V^а/

))

где а — является нормирующем константой, вычисляемом

1-Ф -

а

а =

V

У

Усеченное нормальное распределение имеет следующие харак теристики:

плотность (рис. 1.9)

т=

а

л/2

па

• (НО
• 2<г вероятность безотказной работы

/

Р(0 = О

1-Ф

V

У

математическое ожидание

ал/ / сі • а М(Х) = [1+—;=е

лІ2к

Рис. 1.9. Плотности усеченного нормального распределения при а = 1

дисперсия

/

• 0{Х) = <5^а-
• 2 а-о

л/2к

[2к

а а

[1 + ^=е

/

интенсивность отказов (рис. 1.10)

Л-1

' ('-и)²'

т=

1

/ ло

1-Ф

V

У

хе

2сг

/.

Для объектов, состоящих из нескольких элементов, расчет безотказности должен проводиться с учетом того, какое влияние на функциональные свойства объекта оказывает отказ каждого из составляющих его элементов. При этом необходимо учитывать не только технические последствия отказов элементов, но и продолжительность восстановления их работоспособности. Это связано с наличием определенной инерционности реакции объекта в целом на изменение параметров его отдельных элементов. В ряде случаев, при оперативном устранении работоспособности элемента, потребители, пользующиеся объектом, могут не испытать

Рис. 1.10. Интенсивность отказов усеченного нормального распределения

при о = 1

каких-либо негативных последствий. Например, даже в несущих конструкциях своевременное их усиление после каких-либо нарушений во многих случаях не требует перерывов эксплуатации объекта.

Конструкции зданий проектируют с определенным запасом. Поэтому при возникновении первых признаков нарушения работоспособности происходит перераспределение усилий между оставшимися работоспособными частями конструкции. Такое явление называют структурной избыточностью. Если посредством ремонта приостановлено развитие дальнейшего разрушения конструкции, то объект в целом будет находиться в работоспособном состоянии. Своевременное устранение отдельных дефектов создает определенный резерв, называемый временной избыточностью.

Для того чтобы оценить структурную избыточность конструкции, необходимо представить ее элементы в такой взаимосвязи, которая показывала бы реакцию конструкции на отказ каждого из них. С этой целью различают несколько видов соединения элементов в конструкции.

Последовательное соединение элементов конструкции при расчете безотказности — это такое соединение, при котором отказ хотя бы одного из элементов приводит к отказу всего соединения в целом. Классическим примером технической системы с последовательным соединением является любая статически определимая конструкция, где отказ одного из элементов приводит к отказу всей конструкции (рис. 1.11). Разрушение (отказ) такой системы определяется разрушением наиболее слабого элемента.

а б

Рис. 1.11. Система с последовательным соединением элементов: а — многослойная конструкция наружных стен; б — вертикальные элементы каркаса

Примером последовательного соединения элементов является плоская совмещенная крыша. Отказ утеплителя или гидроизоляционного ковра ведет к отказу всей конструкции.

Инженерные системы зданий и сооружений состоят из многих последовательно соединенных элементов. Если конструкции (элементы) здания при расчете безотказности соединены последовательно, то вероятность безотказной работы конструкции, состоящей из N элементов, вычисляется по формуле

^сист(0 = ^(0хР₂(0х...Х.Р_ЛГ(0,

где /*](/), Р₂(0, ... Р)у(0 — вероятности безотказной работы соответственно первого, второго и остальных элементов.

Вероятность безотказной работы каждого элемента не превышает единицу, следовательно, чем больше последовательно включенных конструкций входят в состав конструкции, тем ниже уровень ее безотказности.

Параллельным соединением конструкций при расчете безотказности называется такое соединение, для которого условием отказа конструкции является отказ всех составляющих ее элементов. Если хотя бы один элемент остается работоспособным, то конструкция продолжает выполнять свои функции. Примером параллельного соединения может служить многослойная мягкая кровля (рис 1.12). Пока остается работоспособным любой из ее слоев, кровля выполняет свою основную функцию.

Если элементы конструкции воспринимают одинаковую нагрузку и отказ каждого из них не приводит к увеличению вероятности отказа других элементов, то при параллельной работе системы из N элементов вероятность безотказной работы всей конструкции вычисляется по формуле

/^>сист(0-1-[(1-Л(0)х(1-Р₂(/))Х...Х(1-/^(/))].

Поскольку каждый сомножитель приведенной формулы (1 — Р;) меньше единицы, то с увеличением числа элементов произведение вероятностей их отказов (выражение в квадратных скобках) будет уменьшаться и в пределе стремиться к нулю, а вероятность безотказной работы всей конструкции соответственно стремиться к единице. Безотказность конструкции в целом бу-

Г равийная засыпка

?

Основание

Г идроизоляцион-ные слои: Элемент 3 Элемент 2 Элемент 1

Рис. 1.12. Система с параллельным соединением элементов

дет выше безотказности составляющих ее элементов. Это свойство систем с параллельно соединенными элементами, оно широко применяется при проектировании и эксплуатации систем для гарантированного обеспечения требуемого уровня надежности объектов.

Большинство строительных конструкций и инженерных систем невозможно представить как системы из последовательно или параллельно включенных элементов. Даже один и тот же элемент в конструкции может рассматриваться дважды: и в последовательном соединении, и в параллельном. Например, при повреждении трехслойной панели она может продолжать выполнять функции несущей конструкции за счет перераспределения усилий. Теплоизоляционные функции при этом могут нарушиться из-за намокания утеплителя. С точки зрения обеспечения несущей способности элементы конструкции соединены параллельно, а с точки зрения теплоизоляции — последовательно.

Если конструкция представляется как комбинация последовательно и параллельно включенных элементов, то для расчета вероятности ее безотказной работы поступают следующим образом.

Вначале систему элементов разделяют на тривиальные части, состоящие из только последовательно и только параллельно соединенных элементов. Для каждой из этих частей по приведенным выше формулам рассчитывают вероятность безотказной работы. Затем каждую часть представляют как один «укрупненный» элемент, для которого вероятность безотказной работы уже рассчитана. Далее вновь выявляют параллельно и последовательно соединенные «укрупненные элементы» и повторяют все расчеты до тех пор, пока система не окажется представленной только из последовательно или параллельно включенных элементов.

Временная избыточность конструкций проявляется на стадии ее эксплуатации и определяется длительностью цикла оперативного управления — промежутка времени, в течение которого возникает нарушение в элементах и осуществляется его устранение (приведение объекта в исходное состояние). Он формируется следующим образом. При возникновении неисправности один из ее параметров объекта отклоняется до величины Я (рис. 1.13), которая выходит за пределы допустимых значений. Информация о нарушении становится известной через время /_|} обусловленное инерцией системы индикации неисправностей. Для выявления причин неисправности, ее оценки и принятия решения по ней требуется время /₂.

На выполнение действий по устранению неисправности затрачивается время t_v определяемое свойствами ремонтопригодности элемента и соответствующей продолжительностью выполнения ремонтных работ. После завершения восстановительных работ для приведения отклонившегося параметра в исходное состояние может потребоваться время /₄, обусловленное технической инерцией объекта.

Таким образом, период полного цикла оперативного управления Т_оу определяется суммой задержек в отдельных звеньях

Время прохождения информации о неисправности предопределено техническими свойствами конструкции и принятой в эксплуатационной службе организацией наблюдения за состоянием объекта. Время же выявления причин возникновения неисправности и выработке плана действий по ее ликвидации, а также выполнения ремонтов системы зависит от эксплуатационного персонала. Однако в конкретных условиях существуют

я

Рис. 1.13. Развитие неисправности объекта

определенные предельные возможности по быстроте восприятия и регистрации неисправности и разработке планов ее устране-ния Г_{2 тт}, а также по выполнению ремонтов элементов t^₎ т1п. При этом цикл оперативного управления станет минимальным при выполнении следующего условия:

Т

оу тт

+1

2 тт

+ г

3 тт

Однако не всегда, зная о наличии неисправного элемента, эксплуатационные службы немедленно начинают заниматься ее восстановлением. Но и в этом случае, если неисправность вызывает постепенное отклонение параметров от проектных значений объекта в целом, то до наступления отказа системы через время Т_от его можно предотвратить. Для этого эксплуатационная служба в момент времени /_х должна с максимальной оперативностью (за время /_3гЫп) осуществить восстановление работо-

способности элемента и не допустить возникновения отказа объекта в целом. Если подобная ситуация возможна, то это означает, что имеется некоторый избыток времени (резерв времени) над минимально необходимым (рис. 1.14) для цикла оперативного управления

= Т - Т

от рег

^Гот"(^/1^{+ 1}

• 2 тт
• 3 тт

Показатель резервного времени одновременно учитывает как внешние, так и внутренние ограничения эксплуатационных служб, т.е. позволяет соотносить предъявляемые к ним требования с их возможностями.

Рис. 1.14. Определение резерва времени на восстановление объекта

Резерв времени в цикле оперативного управления включает в себя два противоречивых свойства. С одной стороны, его увеличение снижает вероятность отказов и неисправностей в системе и материальных издержек, связанных с ними. С другой стороны, происходит увеличение времени простоя эксплуатационного персонала, влекущее за собой рост непроизводительных материальных затрат.

• [1] интенсивность отказов (рис. 1.8)