Полная версия

Главная arrow Философия arrow Взлеты и падения гениев науки: практикум по методологии науки

  • Увеличить шрифт
  • Уменьшить шрифт


<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>

Срыв Гильберта

Гильберт был, бесспорно, математической величиной необъятного размера. Кстати, он подготовил 69 докторов наук. Генрих Вейль, сам выдающийся математик, писал: «Наше поколение не выдвинуло ни одного математика, который мог бы сравниться с ним... Пытаясь разглядеть сквозь завесу времени, какое будущее нам уготовано, Гильберт поставил и рассмотрел двадцать три нерешенные проблемы, которые... действительно сыграли важную роль в развитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любой математик, решивший одну из них, занимал почетное место в математическом сообществе». По крайней мере пять проблем Гильберта по настоящее время ждут своего разрешения. Будучи необычайно развитым математическим эрудитом, Гильберт тем не менее сам потерпел крупную неудачу, причем в той области, в которой он особенно хотел добиться успеха. Речь идет о выдвинутой им программе формализма.

Она включала три основных положения: 1) классическая математика должна быть аксиоматизирована; 2) ограниченными финитными методами необходимо показать ее полноту и непротиворечивость; 3) следует показать, что математические новации не нарушают стройность математики, фундаментом которой является арифметика Пеано. Программа обоснования математики была принята многими выдающимися математиками, в частности К. Гёделем и Дж. фон Нейманом. Казалось, что она безупречна и способна придать математике истинность на вечные времена.

Однако Гёдель, пытавшийся реализовать программу Гильберта, неожиданно для себя обнаружил (1931), что любая достаточно богатая математическая система, в частности формальная арифметика, либо противоречива, либо неполна, т.е. ее положения невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Надежды на доказательство безупречности математики оказались несбыточными. Впрочем, ученик Гильберта Герхард Гентцен в 1936 году доказал непротиворечивость арифметики. Отход от «жесткой» программы формализма состоял в том, что обычный принцип математической индукции был обобщен до транс финитного числа Во. Но этот обобщенный вариант индукции не формализуем в арифметике Пеано, непротиворечивость которой он доказал.

Ученик подсластил пилюлю, которую предстояло проглотить учителю, но она не была в состоянии спасти программу Гильберта. Сам Гентцен отмечал, что «для теории чисел не может быть предложена адекватная система рассуждений на вечные времена, всегда могут быть найдены положения, для доказательства которых потребуются новые способы вывода». В свете сказанного Гентценом следует усомниться и в правоте Фреге, который утверждал, что «мысль, высказанная в теореме Пифагора, очевидно, вневременна, вечна, неизменна». Я предлагаю читателю самому поразмышлять над ошибкой Фреге. Он прав? Подумайте еще. Получите удовольствие от критики гения!

 
<<   СОДЕРЖАНИЕ   >>