СИНТЕЗ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРТНЫХ МЕТОДОВ В ПРОГНОЗИРОВАНИИ

В прогнозировании развития исследуемого объекта привлекаются различные методы. Использование методов экстраполяции дает возможность оценить динамику определенных показателей объекта на перспективу при условии неизменности действия на объект внешних условий. Использование эвристических методов позволяет получить оценки динамики в условиях возможного качественного изменения процессов. Но оцениваемая достоверность результатов в данном случае заведомо ниже. Может быть ситуация, когда в перспективной динамике процесса тенденции, описываемые различными функциональными зависимостями (например, параболической, линейной и гиперболической), равновероятны. Как в первом, так и во втором случае возможно определенное объединение прогнозных результатов, так называемый синтез прогнозных оценок в целях построения комбинированного прогноза. При этом возникают две основные задачи. Первая — установление области, внутри которой прогнозные результаты, полученные с помощью различных методов, могут считаться согласованными, и вторая — установление такого соотношения между прогнозными результатами, которое наиболее адекватно отражало бы их связь с наиболее вероятным результатом прогнозирования.

Рассмотрим первую задачу, т.е. установление области согласованных прогнозов. Пусть с помощью к различных методов получены прогнозы, определяемые средними значениями Л12, ...,Ак и среднеквадратическими отклонениями ор а2, ..., а. Прогнозы считают согласованными, если они принадлежат области 5, которую можно определить как (/4. ± о;), где 5 — некоторое число, определяющее границы области, внутри которой прогнозы можно считать согласованными при заданном уровне вероятности; / = 1, к. Такие границы определяются для всех прогнозов, т.е. для / = 1,2 при постоянном 5, и окончательно выбираются минимальная нижняя и максимальная верхняя границы по всей совокупности полученных результатов. Данная область может интерпретироваться как множество значений прогнозируемой переменной, обладающих наибольшей вероятностью для каждого используемого метода прогнозирования.

Пусть о,., (/ = 1, к / = 1, 7") определяет среднеквадратическое отклонение в момент 1, полученное для /'-го метода прогнозирования. Если принять, что величина о„ имеет нормальное распределение с нулевым средним, то матрицу ковариаций ошибок прогноза можно определить по формуле

5 = 7-?, (10.8)

где 2. — ковариационная матрица ошибок прогноза. Матрицу ко-вариаций ошибок прогноза можно представить в виде

(Ю.9)

Вектор о = и, о2, ..., ок/] ошибок прогноза имеет многомерное нормальное распределение с нулевым средним и ковариационной матрицей I. При отсутствии автокорреляции ошибок величина

^ = а,га, имеет центральное распределение Уишарта ЩТ, I). В этом случае границы доверительной области находятся следующим образом. Величина У определяется как

  • 1'т-Ч
  • (10.10)
  • 1 к ^ 1 к
  • 1Т 9"1 / ’

где I. — вектор размерности х /), элементы которого равны еди-нице. Величина ^ имеет распределение Пирсона с (Т— к — 1) степенями свободы.

Таким образом, получив по формуле (10.10) численное значение

оценки величины У, находим по таблице значений х2 с (Т — к — 1) степенями свободы уровень надежности, которому это значение соответствует, и область согласованных прогнозов оказывается определенной.

При реализации процедуры получения комбинированного прогноза необходимо проводить логический анализ прогнозов с точки зрения их непротиворечивости, возможности совместного использования. В литературе предлагается следующая процедура определения непротиворечивости прогнозов. Пусть рассматриваются два варианта прогнозов — экстраполяционный и прогноз, получаемый методом экспертных оценок.

Экстраполяционный прогноз определяется моделью вида

у1(/) = Ху*,(0+г„

У=1

где а — коэффициенты; х.(7) — некоторые функциональные зависимости; нормальный случайный процесс.

Прогноз, получаемый методом экспертных оценок, разрабатывается на основе модели

]_

N

к=1

где у2(Г) — оценки, даваемые к-м экспертом; N — число экспертов. Непротиворечивость прогнозов определяется критерием Стьюдента: считается, что прогнозы непротиворечивы, если выполняется неравенство |?| < /табл^ , где |/| — модуль расчетного значения критерия Стьюдента; /табл(/?, у) — табличное значение критерия дляр-го уровня надежности и числа степеней свободы у. Если число наблюдений для получения первого прогноза — т, число оцениваемых параметров — п, число экспертов, делающих оценки вторым методом, — А, то число степеней свободы V определяется как V = т + N — п — 1. Уровень надежности р — задается. Аналогично строится процедура и для большего числа прогнозов. Если условие непротиворечивости прогнозных результатов выполнено, можно реализовать процедуру синтеза, сущность которой состоит в том, что определяется средневзвешенный результат прогнозов, полученных различными методами с учетом их достоверности. Чем менее достоверен результат, тем меньше его вес, вклад в окончательный прогноз.

Рассмотрим непосредственно процедуру синтеза прогнозных оценок, сущность которой состоит в следующем. По результатам прогнозирования, полученным с помощью различных методов, определены значения прогноза А{, Л2,..., Ап с ошибками, характеризующимися дисперсиями а^, о], ..., сг. Необходимо построить некоторую

средневзвешенную оценку А* с такими весами р, (/ = 1, я), чтобы она была наиболее эффективной в определенном смысле. Построим такую синтезированную оценку прогноза Л*, которая была бы линейной комбинацией частных прогнозов, т.е.

(10.11)

где А/. — значения частных /-х прогнозов; р, — вес /-го прогноза. Веса р,- выбираются по критерию минимума ошибок (дисперсии) прогноза А*. Дисперсия синтезированного прогноза с2л. определяется по формуле

Хр/4^ХХр/РаСоу(4,л>ХХр(.р,р(4,л>а,^Д10.12)

V /=1 / /=1 /=1 /=1 /=1

где Соу(4, Ак) и р(Ап Ак) — соответственно ковариация и коэффициент корреляции /-й и к-й прогнозных оценок.

Относительно весов р4/ = 1, минимизация дисперсии С2Л. сводится к решению задачи Лагранжа. Речь идет о минимизации функции Лагранжа, которая записывается как

/ N >

> (10.13)

V /=1 У

где X = множитель Лагранжа. Условия минимума Р запишутся в виде

дР

Р = сг* + X

А

Эр,. Э Р [ЭЯ.

= 0, 1 = 1, N

(10.14)

= 0,

что приводит к системе уравнении

.2

Р1°д +Р2А2аДаЯ, +??? + liNPNAiAN + Я, - 0;

  • *-Р7С5А<5а1 +Рг °а2 +--- + 11лгР2лга2аЛг +Я.-0;
  • (10.15)

Р|ЛУ1аД +^2Рн20А20А„ +--. + Рц<52Аы +^-0;

Р, +Р2 +... + Руу = 1

Решение данной системы уравнений и дает такие значения весов рр р2,..., р у, которые реализуют минимум дисперсии оценки А*. Решая систему (10.15), находим

  • 1_
  • (10.16)

Х =

N

I

/ =

Отсюда Р/=-

1 = 1 0А:

N

  • 1
  • (10.17)

У=1 °Ау

Таким образом, по формуле (10.17) находят веса, определяющие оценку синтеза прогнозных результатов. Найдем выражение А*

и дисперсии о2л,:

л* =

  • 1
  • 1 ? А> ?
  • 7

Г

Л2

(10.18)

N

^2 _ V .,2^2

сл* -2,^,с4- _

;=1

N

х,

I 7=1 °/1

1

/

N

X ,

/ = 1 а/1/

1

/V

/=1

а

Для случая двух прогнозных результатов, т.е. для случая N = 2, можно записать коэффициенты величины оценки синтеза прогнозных результатов, среднюю оценку и дисперсию оценки. Коэффициенты величины оценки синтеза прогнозных результатов определяются по формулам

г

о

1

+ а

л,

а

л

  • 2 У
  • (10.19)

а

ч

/

Л

+

^2 , _2

ал, + СЧ

а

а

'2 /

Средняя оценка синтеза прогнозных результатов вычисляется по формуле

А =

  • 1
  • (10.20)

_2 , ^2 аЛ.Л2

Дисперсия оценки синтеза прогнозных результатов рассчитывается как

^2 _2

(10.21)

°4+<Ч

Таким образом, используя описанную выше процедуру, можно получить взвешенный прогноз, который позволит учесть качественные и количественные признаки развития изучаемого объекта.